Euclides, al segle III aC, va escriure tretze llibres, coneguts com els Elements. A aquests llibres, Euclides combina un recull del coneixement matemàtic existent (com el teorema de Pitàgores, segles més antic), amb aportacions pròpies. Els llibres tenen un contingut principalment basat en geometria i en teoria de números.
En aquests apunts farem un petit viatge al llarg dels sis primers llibres dels Elements d'Euclides, tot i que no exposarem aquí tot el seu contingut ni tampoc farem servir sempre la nomenclatura o els vocabularis de la seva època.
A més, en diverses ocasions tractarem temes relacionats però no necessàriament presents als llibres d'Euclides. Es tracta, per tant, d'un repàs poc rigorós des d'un punt de vista històric, però que pretén cobrir alguns forats que una persona estudiant de 1r d'arquitectura amb poca base matemàtica i de dibuix tècnic pugui tenir. De forma modesta, també pretén ser una motivació a l'estudi d'una de les obres més importants de la civilització occidental i una invitació a fer algunes reflexions filosòfiques.
Un recurs magnífic per poder comprendre aquests sis primers llibres és el llibre d'Oliver Byrne, The First Six Books of The Elements of Euclid With Coloured Diagrams and Symbols, on cada proposició i demostració està representada de forma visual i intuitiva. Aquest llibre es troba a la bibliografia de l'assignatura i el podeu trobar a la biblioteca. També podeu visita una reconstrucció moderna en versió web feta per Nicholas Rougeux, amb llicència tancada, i millor encara, una reconstrucció en pdf amb llicència oberta feta per Sergey Slyusarev.NOTA: Aquests apunts cobreixen només una part del temari dels temes 1 (geometria mètrica) i 2 (proporcions) de l'assignatura Matemàtiques I. No són, doncs, uns apunts oficials (els oficials els teniu també a Atenea), sinó un complement a aquests.
Encara que hi ha molts instruments per dibuixar, el regle i el compàs són les dues eines clàssiques de la geometria. Cal no confondre, però, el regle al qual estem acostumades, amb escala graduada (en anglès ruler) amb el regle clàssic que no té cap mena de marques i que per tant no mesura longituds (en anglès straightedge). Tots dos serveixen per traçar línies rectes, que és la funció en la qual ens centrarem.
Hi ha molts tipus de compassos, però també aquí farem una distinció principal entre el compàs modern i el clàssic. Si bé tots dos tipus tenen la funció comú de traçar arcs de circumferència, el modern manté la distància entre els seus dos braços quan s'aixeca, mentre que l'antic col·lapsa a l'aixecar-ho. Per tant, el compàs modern també té la capacitat de transportar distàncies d'un lloc a un altre.
Si bé Euclides té com a eines un regle no graduat i un compàs col·lapsant, aquí permetrem fer una mica de trampa i podrem transportar distàncies amb un regle modern.
Hi ha moltes formes d'entendre una mateixa cosa. En matemàtiques, sovint trobem que les aproximacions formals a un problema poden arribar a ser poc intuïtives dins del context d'un grau d'arquitectura, i ens ajuda tenir explicacions més gràfiques per poder-les comprendre. En aquest grau, la visió espacial dels conceptes és fonamental, i a les assignatures de Matemàtiques de l'Arquitectura hi fem un gran èmfasi.
Fixem-nos que la paraula 'visual' no és tan adient com el terme 'espacial'. El sentit de l'espai es pot percebre amb més sentits que no pas la vista (per exemple el tacte o l'oïda). El terme 'espacial' ho engloba tot i és el que farem servir.
Curiosament, a l'escola ens ensenyen a sumar i restar algebraicament, però rarament aprenem a fer-ho gràficament. Per exemple, aprenem a que 3 + 4 = 7 (expressió algebraica) o bé 7 - 3 = 4. A l'època d'Euclides, el número 3 o el 4 no s'escrivien d'aquesta forma algebraica a través d'un símbol, sinó que es pensaven com a segments (trossos finits d'una recta).
A la següent imatge podem veure un segment blau i un segment vermell. Aquests representen dues quantitats o números. Si els volem sumar, simplement els posem un al costat de l'altre, de forma alineada, i obtenim el segment suma, en verd.
Per restar fem un procés semblant. Si ens donen els segments verd i blau, transportem un a l'extrem d'un altre, de forma alineada, de forma que podem obtenir el vermell com la diferència.
Per fer aquests processos, cal saber transportar segments d'un lloc a altre (fàcil amb un compàs modern, no tant amb un clàssic!) i a més cal saber alinear els segments. Això ho explorarem després, però abans unes preguntes:
- Creus que encara podríem sumar i restar segments quants aquests no estan alineats? Et recordaria a alguna cosa que ja coneixes?
- Creus que també es podria multiplicar i dividir gràficament?
No oblidem que la geometria és, a més d'una tècnica amb utilitat pràctica, un art en sí mateix. I amb aquest esperit ens preguntem com Euclides s'ho feia per transportar un segment d'un lloc a un altre sense tenir un compàs rígid. Des d'un punt de vista pràctic, amb un compàs modern, i ja no parlem amb un ordinador, no té utilitat saber això. Des d'un punt de vista artístic i filosòfic, té un interès enorme. De fet, aquí podries aturar-te i pensar:
- quin percentatge de les matemàtiques correspon a coses útils?
- les persones que van construir/descobrir aquestes matemàtiques, ho van fer per la seva utilitat només?
- una cosa que avui sembla no útil pot ser demà útil? i al revés?
- una cosa no útil és, com a conseqüència no interessant? és només interessant allò que és útil?
- es poden fer aquestes mateixes preguntes a l'arquitectura?
El primer que necessitem és aprendre a construir un triangle equilàter.
(Totes les imatges del llibre de Byrne estan extretes de la versió lliure de Sergey Slyusarev, citada a la introducció)
Fem una explicació de la construcció. Convé fer explicacions concises i clares, i molt millor si al dibuix fem servir colors. També podeu fer servir lletres, però és més farragós.
1) Partim del segment negre
2) Sobre 1) fem servir el compàs des d'un extrem a l'altre del segment i dibuixem la circumferència blava.
3) Similar a 2) però canviant els braços del compàs dibuixem la circumferència vermella (o potser taronja).
4) Dels extrems del segment negre cap a una de les interseccions de les circumferències tracem dos segments, vermell i groc.
5) Els tres segments dibuixats formen un triangle equilàter.
Amb sinceritat, aquesta explicació amb text és molt inferior en intuïció a l'explicació visual d'Oliver Byrne. Molt recomanable fer una ullada. Fins i tot la demostració (que no hem fet aquí) és d'una claredat enorme.
El següent pas és fer ús d'aquesta tècnica per transportar un segment (negre) donat a un punt demanat (al dibuix, on es troben el segment blau i vermell).
Podries desxifrar el procés sense consultar la solució? Pots apreciar la vessant artística que té aquesta tècnica?
Abans de comentar els passos principals, una cosa important. A la geometria Euclidiana podem prolongar o estendre qualsevol segment tant com vulguem. En anglès, si volem estendre un segment AB fins a C, podem dir AB is produced to C.
Passos inicials:
# conecta un extrem negre amb el punt de destí.
# construeix un triangle equilàter amb aquesta connexió. Com aquesta construcció ja s'ha estudiat abans, no surt al dibuix cap detall de com fer-ho.
# observa la enorme importància del nou vèrtex d'aquest triangle equilàter! És el punt sobre el qual ara girarà tot.
Intenta pensar com acaba aquesta construcció i fer-la als teus apunts. No hi ha cap forma millor d'entendre una cosa. I quan diguis "ja ho entenc", intenta-ho refer de zero en un paper en blanc i comprova si realment ha quedat veritablement comprès.
A l'assignatura Física I estudiaràs com calcular gelosies, estructures enormement eficients per cobrir grans llums. Si et fixes, tots els elements d'aquestes descriuen triangles, mai polígons superiors com quadrilàters, etc. Per què és això?
Imaginem que tenim quatre bigues i les connectem pels extrems per fer un quadrilàter. Un cop feta l'estructura, creieu que és mòbil? Podem deformar-la sense deformar les bigues? Pensa-ho tu abans de continuar llegint!
La resposta és que sí, es pot deformar. I això passa en tots els polígons excepte el triangle. Si construïm un triangle amb tres bigues rígides, aquest ja no es pot deformar. I per això, les gelosies han d'estar formades per polígons de grau 3.
Hem vist, doncs, que donades tres bigues definim un únic triangle (segur? i la seva imatge especular?). I si ens donen només dos costats del triangle? Queda el tercer definit automàticament?
Quins conjunts d'ingredients defineixen un triangle de forma unívoca (junt amb la seva imatge al mirall)?
La resposta és que hi ha quatre conjunts. Si S vol dir costat (de l'anglès Side) i A vol dir angle,
1) SSS: ens donen els tres costats.
2) SAS: ens donen dos costats i l'angle al seu punt comú (fixa't en l'ordre de les lletres).
3) ASA: ens donen dos angles i el costat que tenen en comú.
4) AAS: ens donen dos angles i un costat que toca només al darrer angle.
Intenta dibuixar triangles con et donen aquests ingredients i mira si aquest ja queda completament definit o no.
Una darrera pregunta, molt important. Amb tres bigues de qualsevol longitud, es podria sempre construir un triangle? Amb uns intents amb llapis i bolis de diferent mida pots veure ràpidament que la resposta és no. I ara la pregunta clau és aquesta: quina condició han de complir les tres bigues entre elles per poder formar un triangle? Pensa abans de continuar llegint.
Euclides ens torna a ajudar amb la coneguda desigualtat triangular, que ens diu que podrem fer un triangle amb tres bigues donades sempre i quan es compleixi que la suma de dues bigues qualsevol sigui més gran que la biga restant.
En el cas particular d'un triangle rectangle (on hi ha un angle recte o de 90º), aquesta desigualtat implica que la suma dels catets sempre ha de ser més gran que la hipotenusa.
Podríem dir "més gran o igual", però quan diem "igual" noteu que el triangle tindria àrea igual a 0.
La desigualtat triangular també es pot llegir al revés: donat un triangle, els tres costats o bigues han de complir la mateixa condició.
Dos problemes clàssics i molt importants són:
1) donat un segment, trobar el seu punt mig.
2) donat un angle (definit per dos segments), trobar la recta (anomenada bisectriu) que divideix l'angle en dos angles iguals.
Ataquem el primer problema. Ens donen un segment AB:
L'opció clàssica és construir una Vesica piscis (del llatí, que vol dir una bufeta de peix) o també anomenada una ametlla. Consisteix en agafar compàs d'A a B i després de B a A de forma que trobem els dos punts d'intersecció. També podríem escriure, per abreviar, Compàs(A,B) (que voldria dir compàs punxat a A i amb llapis a B) i Compàs(B,A).
També podríem escriure de forma resumida:
Comp(A,B) i Comp(B,A) => C i D
Finalment, unim C i D i obtenim el punt mig que buscàvem (M). O de forma resumida:
Segment(C,D) => M.
Una bona explicació del problema seria:
1) Comp(A,B) i Comp(B,A) => C i D
2) Segm(C,D) => M.
Diem que el segment CMD és perpendicular (també ortogonal o normal) al segment AB, i la recta que passa per ell es diu la mediatriu. Aquesta té la propietat de que qualsevol punt seu equidista d'A i B.
Fixem-nos en una cosa: hem après a dividir gràficament! Bé, només hem aprés a dividir entre 2, però potser més endavant Euclides ens ensenyarà a dividir entre altres números. I si tenim prou paciència, podrem aprendre a dividir (i multiplicar) dos segments qualsevol!
Preguntes per pensar:
- I si (coses que passen) no teniu suficient paper en un dels dos costats i només us cap un costat de la vesica piscis? Podríeu encara trobar M?
- És totalment necessari fer Comp(A,B) i Comp(B,A) o podríeu (amb un compàs modern), fer servir una llargada de compàs més petita, sempre que els dos cercles es trobin?
Quan tenim un angle recte (de 90º), és convenient marcar-ho al dibuix amb un petit quadradet.
L'altre problema de bisecció és el de dividir un angle en dos angles iguals. El problema comença amb dos segments, AB i AC que defineixen un angle α en comú, el qual volem dividir en dos angles iguals, α/2 cadascú.
Amb un compàs fem Comp(A,D), on D és un punt arbitrari (per això surt en blau) del segment AC i trobem el punt E (que ja no és arbitrari i surt en negre). El resum seria:
# Comp(A,D) => E
Amb això segur que ja et resulta obvi continuar. Cal trobar el punt mig M = Mig(D,E) i unir A i M.
El resum del procés podria ser:
1) Comp(A,D) => E
2) M = Mig(D,E)
3) Segment(A,M) defineix bisectriu d'α
Tant per aquesta construcció com per l'anterior, és molt recomanable veure com Byrne dibuixa cada pas, seguint la demostració d'Euclides.
La recta definida pel segment vermell és la bisectriu.
Quan ens donen una recta i ens demanen una recta perpendicular a la primera, ens han de dir per quin punt ha de passar aquesta perpendicular. Aquest punt pot ser que:
1) pertanyi a la recta donada
2) que no pertanyi a la recta donada
Explorem els dos casos:
1) perpendicular a una recta donada passant per un punt P de la mateixa recta:
El procés és el següent:
# Semicercle des de P amb radi qualsevol => ens dona dos punts a la recta.
# Amb aquests dos punts, fem mitja vesica piscis, la qual ens dona un altre punt.
# Unim aquest darrer punt amb P
2) Ara veiem què passa si el punt donat P no pertany a la recta donada.
El procés aquí seria:
# Compàs(P,F) => I (on F és arbitrari)
# Compàs(F,I) i Compàs (I,F) => J (i un altre punt extra que no cal)
# Recta(J,P)
Donat un segment (o una recta), en moltes ocasions volem trobar un segment o recta paral·lels.
Si consultem els Elements d'Euclides veurem que ell segueix un camí que aquí no seguirem perquè disposem de poc temps. Però val la pena comentar la seva estratègia:
1) Recordem com primer apreníem una tècnica per transportar (o sigui, copiar o clonar) un segment d'un lloc a un altre. Doncs Euclides passa aquí a mostrar com fer el mateix amb un angle donat, és a dir, copiar-lo o clonar-lo a altre lloc. Aquest procés és prou interessant, perquè a diferència del transport de segments on podem fer 'trampa' amb un compàs rígid, com copiaríeu un angle donat? Necessitaríem un transportador (en anglès, protractor). Si tens curiositat, pots consultar la proposició I.23 (que vol dir llibre 1, proposició 23) dels Elements. La idea general és, donat l'angle, inventar-se un triangle que el contingui, i aleshores transportar els tres costats a un altre lloc.
2) Un cop sabem copiar angles, apliquem el següent principi: una recta talla a dues rectes paral·leles formant angles iguals amb elles:
Així, copiant l'angle α d'un punt blau a l'altre, tenim dues rectes paral·leles. Per cert, veiem com les dues fletxetes a les rectes ens indiquen, per conveni, que són paral·leles.
En comptes de seguir tot aquest procés, sempre podem pensar que com ja sabem construir una línia perpendicular, podrem construir la perpendicular de la perpendicular, tenint com a resultat una línia paral·lela (90º + 90º = 180º).
A la següent figura veiem un triangle
Els tres angles verdes són interns, mentre que el vermell és un (dels 6 possibles, quins són els altres?) angle extern. El que Euclides ens diu és:
- La suma dels tres angles interns és 180º o π rad (de fet no diu ni una cosa ni l'altra, sinó que dona 'dos angles rectes'). Aquest resultat és ben conegut i segurament ja el sabies, ja que és molt pràctic, però, sabries entendre per què és cert? Et pot ajudar molt si a un vèrtex dibuixes una paral·lela al costat oposat al aquest.
- L'angle extern (vermell) és igual a la suma dels dos angles interns dels dos vèrtex oposats. Aquest resultat també el coneixies? Tot i que es pot deduir del resultat anterior, és convenient aprendre-ho a veure directament al dibuix.
Un paral·lelogram és un quadrilàter amb cada costat paral·lel a un altre, de forma que si el seu perímetre el formen els costats consecutius a, b, c i d, tenim que a és paral·lel a c i b paral·lel a d.
Ja hem vist que els triangles tenen una gran rellevància des d'un punt de vista del càlcul estructural. I els paral·lelograms? Aquests són imprescindibles a l'estudi de la mecànica de materials, ja que qualsevol element quadrat (i de fet, també rectangular, però s'acostumen a considerar quadrats) a un material, quan pateix un esforç de cisalla (en anglès, shear), es deforma en un paral·lelogram:
A la figura de dalt veiem com un quadrat gris, sota l'esforç de cisalla, donat pel parell de forces F i -F, es deforma en un paral·lelogram (línies discontínues vermelles). Ara bé, quines propietats geomètriques tenen aquestes figures?
1) En la figura, l'àrea del paral·lelogram és la mateixa que la del quadrat gris. En general, és cert que qualsevol paral·lelogram, quan es deforma per cisalla, no canvia la seva àrea. Això tindrà conseqüències que veureu al càlcul estructural.
2) Un paral·lelogram té dues diagonals (són d'igual llargada les dues?). Podem veure que cada diagonal talla al paral·lelogram en dos triangles idèntics.
Això, combinat amb 1), ens permet veure que si fem 'cisalla' a un triangle, és a dir, si movem el vèrtex oposat a la base de forma paral·lela a aquesta, la seva àrea es manté constant! A la figura, les àrees grisa i vermella són iguals, i podem moure el vèrtex blau tant com vulguem al llarg de la línia paral·lela a la base, i l'àrea mai canviarà. Recordeu com es calculen les àrees d'un triangle i un paral·lelogram en funció de la seva base i altura i veureu que això té molt de sentit.
D'aquesta propietat veiem que moltes coses que aprenem dels paral·lelograms ens serviran per entendre millor els triangles. I al revés: quan un problema de triangles apareix, acostuma a ser útil completar el paral·lelogram.
3) Considerem un paral·lelogram amb una de les seves diagonals (la \ en aquest cas), i un punt qualsevol d'aquesta diagonal. D'aquest punt es pot dividir el paral·lelogram en quatre petits paral·lelograms (groc, blau, vermell i negre).
Fixem-nos com groc i vermell són diferents però semblants (proporcionals, ja estudiarem proporcions millor més endavant) i tots dos fills (groc i vermell) també semblants al paral·lelogram mare, i com la diagonal (\) talla a cadascun d'ells en dues meitats iguals. Això, sumat a que la diagonal talla al paral·lelogram en dues parts iguals fa que el negre i el blau tinguin la mateixa àrea! No importa si movem el punt on es troben els quatre colors al llarg de la diagonal, aquesta propietat sempre es mantindrà. Potser t'ajuda pensar que tot paral·lelogram és una mare que pot tenir quatre fills, dos dels quals seran semblants a ella i entre ells, tot i que de diferent àrea, i els altres dos no seran semblants ni entre ells ni a la mare (en general) però sí d'igual àrea entre ells.
Aquest teorema no necessita presentació! Sí podem dir que segurament ja era conegut molt abans de Pitàgores, però moltes vegades passa que la fama no honra a totes les autores (especialment si són dones, recordes què va passar amb l'ADN?).
En tot cas, Pitàgoras farà tres grans aparicions en aquest curs i aquesta és la primera. Podríem pensar que no cal recordar aquí un contingut tan 'bàsic', però hi ha (com a mínim) tres motius de pes per mencionar-lo. Primer recordem el famós teorema: donat un triangle rectangle, el quadrat de la hipotenusa és igual a la suma dels quadrats dels dos catets. A la figura, les àrees dels catets, negra i taronja, corresponen respectivament a les àrees groga i blava, i per tant la seva suma és el quadrat de la hipotenusa:
Podeu veure espacialment per què és així. Ara ja teniu tots els ingredients necessaris. Les diagonals negres i els sectors angulars grocs donen moltes pistes.
Per què recordem aquest teorema aquí?
1) Tot vector (com les forces a estàtica) es pot considerar una hipotenusa (amb una cap de fletxa afegit). Vol dir això que tot vector té també dos catets? Sí! I no només això: tota hipotenusa té infinites parelles de catets possibles! Veiem això dibuixat. Una hipotenusa (negra) la descomponem en dos catets vermells, que coincideixen amb els eixos Cartesians x i y (els eixos els dibuixem puntejats). Però també podem descompondre la hipotenusa en dos catets taronges, o verds, o roses. I veiem com cada elecció va acompanyada de dos eixos perpendiculars corresponents! D'alguna forma, tenim una certa capacitat de triar parells de catets, i totes són correctes sempre que la hipotenusa també ho sigui (que és la que marca la magnitud física que volem, com una força o una deformació). És a dir, que un vector força F=(Fx,Fy) correspon a una hipotenusa F (la magnitud física, que no la triem nosaltres) i dos catets Fx,Fy, paral·lels a uns eixos que sí triem nosaltres. Guarda això a la teva memòria per quan estudiem canvis de bases!
T'has fixat en que tots els punts per construir parelles de catets estan sobre una mateixa circumferència? Això ho veurem millor després (Tales).
2) És important tenir clar el teorema de Pitàgores com a punt de partida per veure què succeeix quan el triangle no és rectangle. Haurem de modificar una mica el teorema per relacionar hipotenusa i catets, però encara s'assemblarà força. Ho veurem al teorema del cosinus.
3) També és important tenir aquest teorema clar perquè és el punt de partida cap a un altre teorema encara més espectacular que el de Pitàgores, i que serà un dels moments clau d'aquest repàs.
Seguim en la mateixa línia de replantejar coses que probablement ja sabíem d'una forma més gràfica i intuïtiva. Un exemple molt clar d'això és la propietat commutativa quan multipliquem números. Per exemple, 3·7 dona el mateix que 7·3. Això per què és cert? A priori no és obvi, ja que hi ha altres tipus de producte que no commuten. Per exemple, dues matrius A i B no tenen (en general) el mateix producte A·B que B·A. Tampoc (en general) obtenim el mateix resultat si rotem un objecte i després el traslladem que si primer el traslladem i després el rotem. Per què dos números sí que commuten?
Sabem que 3·7 vol dir 3 grups de 7 elements, mentre que 7·3 vol dir 7 grups de 3 elements:
Per què les dues quantitats són iguals? Per veure-ho bé, cal redibuixar-ho així:
Ara és obvi que tots dos rectangles tenen la mateixa àrea, i que la commutació no és més que una rotació de 90º de la figura.
Tot i que aquest exemple és senzill, il·lustra perfectament l'esperit de les matemàtiques a l'arquitectura, on sempre que sigui possible les coses s'han d'entendre sota un punt de vista espacial.
Un altre exemple senzill el dona la propietat distributiva, la qual coneixem com a
a · (b + c + d) = a·b + a·c + a·d
Si considerem que cada producte de dos números es pot representar com un rectangle que té aquests dons números com a base i altura, aleshores podem dibuixar
que es pot escriure com
altura · (base_groga + base_blava + base_vermella) = altura·base_groga + altura·base_blava + altura·base_vermella.
Val la pena també fer un esforç per adquirir visió espacial dels productes notables:
1) quadrat de la suma, o (a + b)² = a² + b² + 2·a·b
2) quadrat de la resta, o (a - b)² = a² + b² - 2·a·b
Seguint la mateixa filosofia que a 1) és fàcil veure aquest. Intenta dibuixar-ho, i pensa que diferents àrees podrien solapar-se!
3) quadrat de la suma, o (a + b)·(a-b) = a² - b²
Aquí la filosofia és una mica diferent, però un altre cop hi àrees que solapen. Pista: dibuixa L's.
Donat un segment, la divisió àuria consisteix en trencar aquest en dues parts, una més gran i una més petita, on gran + petita = tot. El tall, però, ha de guardar la següent proporció:
tot / gran = gran / petita = ϕ (nombre d'or).
Si diem que a = gran i b = petita, aleshores tot = a+b. Per tant,
I com a/b = ϕ, ho podem reescriure com
que és una equació de segon grau (si la multipliquem per ϕ es veu), i que té com a solució positiva
El seu valor numèric és aproximadament ϕ ≃ 1.618. En anglès es diu golden ratio, i històricament s'han atribuït moltes propietats suposadament transcendentals a aquest número.
Hem parlat abans de la proporció àuria ϕ, i ara introduïm ja una construcció molt relacionada amb aquesta proporció, que és la divisió d'un segment AB en dos parts AE i EB de forma que
AB / AE = AE / EB
o dit d'una altra manera
(tot) / (part gran) = (part gran) / (part petita) = ϕ,
La construcció és, partint d'un segment del qual volem trobar E:
# perpendicular a AB passant per A
# Compàs (A, B) => C
# M = Punt_mig(A,C)
# Segment(M,B) (en realitat no caldria dibuixar-lo)
# Compàs(M,B) => D
# Compàs (A,D) => E
Una altra manera de fer-ho, i que ens subdividirà el segment AB en petit+gran en comptes de gran+petit (compte perquè ara tenim AB / EB = EB / AE = ϕ) és aquesta:
La construcció és, partint d'un segment del qual volem trobar E:
# perpendicular a AB passant per A
# Compàs (A, B) => C
# M = Punt_mig(A,C)
# Segment(M,B) (cal dibuixar-lo, no com abans)
# Compàs(M,A) => D
# Compàs(B,D) => E
Ara, en comptes de que ens donin un segment (el tot), ens donaran una part (part gran), i volem estendre la part gran fins completar el tot, de forma que les proporcions encara segueixin sent
(tot) / (part gran) = (part gran) / (part petita)
i això voldrà dir que aquest quocient serà ϕ (el nombre d'or).
La construcció consisteix en, donat AB, trobar E de forma que EB / AB = AB / EA:
# perpendicular a AB que passi per A
# M = Punt_mig(A,B)
# Compàs(A,B) => C
# Segment(M,C) (no caldria dibuixar-lo però ajuda)
# Compàs(M,C) => E
Finalment, discutim el concepte de mitjana geomètrica. Tenim costum, sobretot a les notes d'avaluació, de fer mitjanes aritmètiques, que consisteixen en sumar els elements i dividir pel nombre total d'elements. Per exemple, la mitjana aritmètica de 4 i 8 és (4 + 8) / 2 = 6.
En què consisteix la mitjana geomètrica? En multiplicar els elements i després fer l'arrel n-èsima, on n és el nombre total d'elements. Per exemple, la mitjana geomètrica de 4 i 8 és 4 · √2, aproximadament 5.657.
Totes dues quantitats donen una idea de mitjana, així que... quan triar una o altra? Per decidir, és important el context. Són els teus elements a tractar quantitats que acostumen a sumar-se o a multiplicar-se? Per exemple, si avui gastem 4 € i demà 8 € és natural pensar que la nostra despesa total es va sumant, i la mitjana aritmètica ens dona la despesa diària mitjana. Ara bé, si els nostres estalvis es dupliquen aquest mes i el mes proper es triplica, de forma que passem de 100 € a 200 € aquest mes i a 600 € el següent mes, no tindrà sentit fer mitjana aritmètica, sinó geomètrica, on farem l'arrel del factor multiplicatiu, que en aquest cas és √(2·3) = √6 ~ 2.45. Aquest número serà el nostre creixement mitjà.
Aquesta mitjana també es fa servir en temes tan diferents com en aspect ratios de pantalles i papers, en mescla subtractiva de color o en processat d'imatges.
Com a curiositat, existeix una tercera mitjana, que es diu mitjana harmònica. Suposem un relleu de 4x400 m, on cada corredor/a fa una volta a l'estadi. Ens preguntem, quina és la velocitat mitjana de la cursa? En aquest cas, ni la mitjana aritmètica ni la geomètrica ens serveixen!
La resposta és que la velocitat mitjana és la mitjana harmònica. Si v1, v2, v3 i v4 són les velocitats de cada corredora (suposem que corren a velocitat constant, cosa poc realista), definim w1, w2, w3 i w4 com les inverses, per exemple w1 = 1 / v1.
Aleshores, l'invers de la velocitat mitjana v, és a dir, w, serà
w = (w1 + w2 + w3 + w4) / n
Per completi-tut, quina serà la mitjana harmònica entre 4 i 8?
Mitjana harmònica = n / (suma d'inverses) = 2 / ( (1/4) + (1/8)) = 16/3 ~ 5.33.
En conjunt, les tres mitjanes es diuen les Tres Mitjanes Pitagòriques. Si els elements són tots positius i diferents de 0, les tres es poden ordenar com
harmònica ≤ geomètrica ≤ aritmètica
Pregunta difícil: quina seria la velocitat mitjana si els 4 corredors fan distàncies diferents (i temps diferents)?
Quan un triangle no és rectangle, encara hi ha una expressió que relaciona els quadrats dels costats, que es diu Teorema del cosinus (en anglès, Law of cosines). Euclides ja recull aquest teorema als seus Elements.
De forma asèptica, podem fer servir aquesta imatge de la Viquipèdia
i enunciar el teorema com
c² = a² + b² - 2·a·b·cosγ
a² = b² + c² - 2·b·c·cosα
b² = a² + c² - 2·a·c·cosβ
així que, en el fons, és el teorema de "Pitágores + un terme adicional", o un "quasi-Pitàgores".
Seguint la forma en que Euclides ho formula, podem distingir entre el cas on l'angle es obtús o agut. Si és obtús, on el triangle té costats negre (continu), vermell i blau, i l'angle d'interès és al vèrtex negre-vermell,
Euclides suggereix que dibuixem l'altura del triangle (groga) i continuem el segment negre continu amb un segment de negre discontinu , de forma que
(blau)² = (negre continu)² + (vermell)² + 2 · (negre continu) · (negre discontinu)
o fent servir la (base)
(blau)² = (base)² + (vermell)² + 2 · (negre continu) · (negre discontinu)
Aquí no es requereix invocar funcions trigonomètriques (encara no estaven ni inventades!), que a més aquí proporcionarien un innecessari doble negatiu.
Si l'angle d'interès és és agut, poden passar dues a l'hora de dibuixar l'altura: que aquesta caigui dins de la base del triangle o fora.
Si cau dins de la base del triangle, que aquí és negre continu +discontinu, i l'angle d'interès és el vèrtex negre-vermell,
(blau)² = (vermell)² + (negre continu + discontinu)² - 2 · (negre continu) · (negre continu + discontinu).
Si l'altura groga cau fora de la base, el triangle té com a base el negre continu i l'angle d'interès és el vèrtex negre-vermell,
(blau)² = (vermell)² + (negre continu)² - 2 · (negre continu) · (negre continu + discontinu)
No cal saber-se res d'això, només el teorema del cosinus, però és interessant veure com, dibuixant l'altura del triangle, podem tenir a una noció espacial d'aquest teorema on només surten involucrats segments del dibuix, cosa que fa que aquesta aproximació sigui espacialment superior al teorema del cosinus tal i com s'acostuma a mostrar.
Passem a explorar el meravellós món dels cercles. Si bé normalment dibuixem un cercle amb un compàs i per tant sabem on es troba seu centre, què passa si ens donen un cercle de centre desconegut i ens repten a trobar-ho? És una pregunta sorprenent. Podries intentar trobar aquest centre abans de continuar llegint?
Abans, unes definicions:
# circumferència és la línia corba que descriu el perímetre d'un cercle, que és tota la figura sencera
# arc circular (o per simplificar, arc) és un tros de circumferència
# sector circular (o simplement sector) és la figura tancada entre un arc, el centre del cercle i els dos radis extrems corresponents a l'arc. O dit de forma més fàcil, si un cercle és una pizza, un sector és un tros de pizza.
# corda és un segment que va d'un punt de la circumferència a un altre punt de la circumferència
El procés seria:
1) dibuixa una corda qualsevol (AB)
2) troba el punt mig (M) de la corda i fes la mediatriu a aquesta corda
3) la mediatriu talla al cercle en un diàmetre (CD)
4) el centre és el punt mig d'aquest diàmetre (E)
Hem fet servir una propietat molt important: que la perpendicular a qualsevol corda sempre passarà pel centre.
Una altra propietat de les cordes: Sabent que per cada corda podem mesurar la seva distància al centre (de forma perpendicular a la corda), si dues cordes tenen la mateixa distància al centre, les dues cordes tindran la mateixa longitud.
Dos cercles es poden tocar en un punt, és a dir, ser tangents entre ells. Això pot succeir de forma interna (esquerra) o externa (dreta):
Com ho faries per dibuixar aquests dos casos? Si ho intentes, ràpidament veuràs que necessites saber el següent: La unió dels centres de dos cercles que són tangents entre ells passa el punt de tangència.
Aquest preciós resultat ens permet avançar cap al següent cas de tangència, aquest cop entre un cercle i una recta. Abans, però, observem una altra propietat clau de les tangents: aquestes sempre són perpendiculars al radi entre el centre i el punt de tangència.
Un cop sabem això ja podem fer front al següent repte: donats un cercle i un punt P, com traçar la recta tangent al cercle de forma que passi per P?
Si el punt P pertany a la circumferència, aleshores P és el punt de tangència, i per tant, només cal dibuixar el radi entre el centre i P i fer-li la perpendicular. El cas realment interessant ve quan P no pertany a la circumferència (la qual té un centre O):
1) Segment (P,O) => punt A
2) Perpendicular a PO que passa per A, i per tant tangent al circle
3) Compàs(O,P) => C i D (només cal un dels dos, per exemple C)
4) Segment (C,O) => E
5) Perpendicular a CO passant per E => la tangent desitjada!
Aquest procés, del tot artístic, sembla una recepta màgica, però no ho és. Per què creus que aquests passos permeten obtenir la tangent al cercle? Caldria fer una demostració. Però què és una demostració? És simplement una llista de passos on cada pas és conseqüència de passos anteriors de forma que al final connectem suposicions elementals i òbvies (definicions, axiomes) amb l'afirmació no òbvia que volem demostrar. Per exemple, en aquest cas, fixem-nos en dos triangles obtinguts al dibuix
i sobre aquests dos triangles pensem:
1) Els triangles OPE i OAC tenen un costat d'igual longitud, OP = OC (obvi perquè són dos radis del cercle gran). T
2) També tenen un angle en comú (EOP i COA), on la lletra del mig sempre marca el punt on es defineix l'angle.
3) També és obvi que OA = OE (un altre cop dos radis del mateix cercle, el petit)
4) Per tant, els dos triangles OPE i OAC, tenint un angle en comú i els dos costats adjacents en comú també, compleixen el criteri SAS (Side-Angle-Side) i per tant són triangles iguals.
5) Com el triangle OAC és rectangle, el triangle OPE també ho serà.
6) Per tant, el costat PE és perpendicular al costat OE (el qual es un radi), i per tant PE és tangent al cercle petit.
Q.E.D.
Al final d'una demostració és costum escriure aquestes tres lletres, del llatí Quod Erat Demonstrandum i que volen dir 'tal com es volia demostrar'.
Per a l'arquitectura, el més important no és la demostració formal en sí mateixa, sinó el poder tenir la intuïció directa de per què una afirmació és vertadera. Aquí hem vist com aquests dos triangles ens donen la clau, ja que són iguals i ens permeten transferir la perpendicularitat (i per tant la tangència) d'un a l'altre.
En aquest capítol parlarem de dos propietats fonamentals de la corda d'un cercle (a la imatge dibuixada en vermell), que són l'angle central (α, en verd) i un angle inscrit (β, en lila). Fixa't que donada una corda només hi ha un angle central, mentre que podem dibuixar de moltes maneres un angle inscrit.
L'angle central es pren respecte al centre del cercle, mentre que els angles inscrits surten de la circumferència.
Ja hauràs observat que la imatge està suggerint una propietat meravellosa: que no importa d'on surti l'angle inscrit, el seu valor sempre és el mateix (β) (sempre que la corda que el genera sigui la mateixa, clar).
La cosa no acaba aquí. Existeix una relació entre l'angle central i inscrit: α = 2·β, és a dir, que per una mateixa corda l'angle central és sempre el doble que l'inscrit!
Podem tenir intuïció de per què aquestes dues afirmacions són certes?
En aquesta figura no surt dibuixada la corda, però queda clar que l'angle central d'aquesta és la suma negre + blau, mentre que l'angle inscrit és la suma vermell + groc. També queda clar que podem dividir el problema en dues meitats. Si aconseguim veure que el blau és el doble que el groc, ja de regal tindrem que el negre és el doble del vermell. Centrem-nos, doncs, en una meitat.
Per què l'angle blau és el doble que l'angle groc? Fixem-nos que el triangle és isòsceles, i per tant, 2 · (angle groc) + (tercer angle del mateix triangle) = 180º. Aquest tercer angle és = 180 - 2 · groc, i per tant el blau és = 2 · groc.
Finalment, volem entendre per què tots els angles inscrits són iguals.
És a dir, per què (angle vermell) = (angle blau) ? Un cop sabem que 2·vermell = groc i que 2·blau = groc, és necessari que vermell sigui igual a blau. Tan senzill com això!
En aquestes propietats del cercle, mai perdis de vista la corda que defineix aquests angles. Aquesta pot ser molt petita, quasi un punt, i també pot ser màxima i descriure un diàmetre.
En tot cas, per una mateixa corda pots veure que hi ha dos costats diferents!
Aquí novament tenim una corda (vermella). A un costat de la corda tornem a veure (en lila) els angles inscrits (β), però a l'altre costat de la mateixa corda podem veure (en blau) els angles inscrits (θ). És molt important veure que tots els liles són iguals entre ells i tots els blaus són iguals entre ells (sabries veure per què?), però β ≠ θ (a no ser que la corda sigui un diàmetre, aleshores sí serien iguals).
I també important, el doble del blau en aquest cas no és igual a l'angle central! Això només passa en el costat de la corda que conté el centre.
Veus com hem dibuixat cada arc de circumferència de forma puntejada amb un color corresponent al costat de la corda? Tots els angles inscrits a l'arc lila són β i tots els angles inscrits a l'arc blau són θ. Diem que l'arc lila (e) és un arc capaç de β i l'arc blau (d) un arc capaç de θ.
I ja que hi som, si mires la darrera imatge, veuràs com es poden interpretar dos quadrilàters inscrits a la circumferència, un amb costats continus i altre amb costats discontinus. Que estigui inscrit vol dir que els seus vèrtexs estan a la circumferència.
Trobes alguna relació entre els dos angles oposats del quadrilàter inscrit, o dit d'una altra manera, com es relacionen β i θ? Un cop més, Euclides ens ajuda:
Es poden veure dues cordes, dibuixades com segments vermell i negre gruixut, que són també les dues diagonals del quadrilàter inscrit. Però els quatre costats del quadrilàter també són cordes! I per tant, mirant el costat que queda per la zona inferior-dreta, veiem que els angles blaus (inscrits) són iguals entre sí, ja que corresponen a la mateixa corda. Si mirem la corda a la part superior-esquerra, podem veure que els angles grocs són iguals entre sí. I de la mateixa forma, els angles negres i els vermells.
Un cop hem vist això ja és molt fàcil comprendre que la suma dels angles oposats és igual a 180º.
Anticipant el tema de proporcions, podem comentar que aquesta figura ens mostra dues parelles de triangles semblants! Cada triangle és semblant al seu oposat!
Tales va ser un matemàtic important que no es va aturar després del seu primer teorema, i per tant, té més d'un, i en concret, té dos teoremes molt famosos. Per tant, quan diem el teorema de Tales, no sempre queda clar a quin dels dos ens referim. Internacionalment, en anglès, el teorema que veurem ara és el conegut com a Thales' theorem, mentre que l'altre teorema (que sortirà després, amb les proporcions) s'acostuma a conèixer com Intercept theorem. Però és un embolic, perquè a alguns llocs (a Catalunya i Espanya, per exemple), és el segon teorema el que s'acostuma a conèixer com el teorema de Tales.
Aquest teorema ja ve totalment mastegat del capítol anterior. Tenim un cercle i una corda, la qual defineix dos costats que en general són diferents, i cada costat conté un arc capaç d'un angle diferent. A més, la suma dels dos angles dels dos arcs capaços hem vist que és de 180º. Només queda preguntar, què passa si la corda és un diàmetre, és a dir, si passa pel centre? Òbviament, l'arc capaç serà de 90º. Per tant, qualsevol angle inscrit és recte i defineix, junt amb el diàmetre, un triangle rectangle.
El teorema, de forma molt resumida, ens diu que tot angle inscrit a un semicercle que té al diàmetre com a corda, és un angle recte.
És només un cas particular del que teníem abans, però un cas que val la pena recordar per sí sol, ja que apareix en nombroses ocasions:
Tots dos costats de la corda són iguals i tots dos tenen, doncs, angle central, que és de 180º.
Una conseqüència directa d'aquest teorema és poder veure que els següents dos angles són iguals.
En aquest darrer dibuix hi ha dos angles importants que són rectes i no estan marcats. Cal saber-los veure ràpidament!
Un cop més ens trobem davant d'un problema curiós: ens donen un tros d'arc circular però no sabem on està el centre, i per tant, necessitem saber on està per poder completar el cercle. Això és l'únic que rebem:
Euclides ens diu que seleccionem dues cordes qualsevol de l'arc, però de forma que tinguin un punt comú:
Ara, a cada corda li trobem la mediatriu, i les dues mediatrius es tallaran a un punt, que serà el centre del cercle:
Explorarem aquí el concepte de potència d'un punt respecte a un cercle donat (en anglès, cal no dir-li PowerPoint!). Euclides mai va batejar-lo així, però el nom és el de menys aquí. El sorprenent és que, donats un cercle i un punt (que pot estar a dins o fora del cercle), hi ha un número ben misteriós que caracteritza al parell d'objectes donats.
Comencem primer pel cas on el punt (P) es situa dins del cercle:
Ara Euclides ens proposa que construïm una corda (AB) qualsevol que passi pel punt P, la qual dibuixem en vermell (aquesta no passa, en general, pel centre, el qual no ens interessa de moment):
D'aquest dibuix podem extreure el número misteriós del que parlàvem, al qual direm potència del punt P (respecte el cercle donat):
potència de P = - distància(P,A) · distància(P,B)
o simplement
potència(P) = - PA · PB.
El signe negatiu simplement ens indicarà que P està a dins del cercle.
Per què és un número especial aquest? Perquè, mentre mantinguem tant el cercle com el punt P quiets, qualsevol altra corda que passi per P tindrà la mateixa propietat:
Aquí, PA·PB = PA'·PB' = PA"·PB" = - Pot(P)
Ara bé, si movem el punt, la potència canvia. Què passaria si posem P just a la circumferència? Que una de les distàncies de la corda a P es farà zero, i per tant, la potència d'un punt que es troba sobre la circumferència sempre és 0.
Finalment, cal veure què passa quan el punt P es troba fora del cercle. Un cop P està fora, hem d'ampliar el concepte de corda. Direm que tenim una recta que passa per P que tallarà o no al cercle. Si la recta talla al cercle en un sol punt, aleshores aquesta recta es diu, òbviament, recta tangent. Si talla al cercle en dos punts diferents, la recta es diu recta secant, i òbviament genera una corda dins del cercle. A la figura veiem el punt P fora del cercle, amb rectes secants puntejades i les cordes que es formen al cercle (AB, A'B' i A"B"). Intencionadament posem A=B per tal de fer la recta vermella una tangent:
En aquest cas, quasi res no canvia, excepte el signe, que el definim positiu, i PA·PB = PA'·PB' = PA"·PB" = Pot(P).
Veiem que el cas vermell és especialment fàcil, on tenim que PA = PB, i per tant podem escriure que la potència Pot(P) = PA² o també = PB² si volem. Això ens interessa, ja que la secant és aquí una tangent i les tangents són perpendiculars als radis. Què passa si dibuixem ara el centre (O) i el radi fins A?
Com OAP és un triangle rectangle, OA² + AP² = OP², però com AP² és la potència de P, tenim que Pot(P) = OP² - OA², que és una forma alternativa de entendre aquest número i també de calcular-lo.
I si el punt P està dins? Aleshores veiem que
La potència aquí (sense tenir en compte el signe, que serà negatiu), tenint en compte que en aquesta situació PA = PB, es pot tornar a calcular a partir del teorema de Pitàgores, com Pot(P) = - (OA² - OP²).
És a dir, que si tenim la distància del punt P al centre i tenim el radi del cercle, podem calcular la potència del punt directament.
Ja sabem que si movem P de fora cap a dins del cercle, la potència passa de ser positiva a negativa. Això suggereix que, potser, hi ha alguna direcció al llarg de la qual podem moure el punt P sense que la potència canviï. La resposta és afirmativa. Com que la potència depèn només del radi del cercle (constant) i de la distància al centre, veiem que tots els punts a la mateixa distància del centre tenen la mateixa potència. Ja ho podíem intuir veien com a tota la circumferència del cercle la potència és nul·la. En definitiva, anells concèntrics al cercle donat són corbes de potència constant.
Finalment, ens podem preguntar què succeeix si P no té només un cercle proper, sinó dos cercles, c1 i c2. En general, P tindrà una potència respecte a c1 i una altra potència respecte a c2. Existeix algun punt on les dues potències són iguals? La resposta és que sí, sempre i quan els cercles no siguin concèntrics.
Anomenem eix radical a la recta amb la propietat que tots els seus punts compleixen la condició de que la seva potència respecte als dos cercles és la mateixa. Quan els dos cercles són tangents, l'eix radical és simplement la recta tangent. Quan els dos cercles es creuen, l'eix radical és la recta que uneix els dos punts d'intersecció dels cercles. Quan els dos cercles no es toquen és una mica més complicat trobar l'eix radical.
Per un cas on els dos cercles es creuen, dibuixem en taronja l'eix radical. També dibuixem un punt P que no pertany a l'eix, i veiem com PA² i PB², les dues potències, són diferents.
En una segona imatge, situem el punt P sobre l'eix radical, i veurem com en aquest cas PA² = PB², com la circumferència verda remarca.
I si tenim un tercer cercle que es creua amb un d'aquests cercles? Trobarem un eix radical entre ells. Si el nou eix no és paral·lel a l'anterior, tots dos eixos es trobaran en un punt únic comú, al qual les tres potències d'aquest punt seran iguals. A aquest punt el nomenem centre radical.
De nou, Euclides ens presenta una pregunta molt interessant: donat un cercle i un segment (no més gran que un diàmetre), com situem aquest segment al cercle per tal que sigui una corda? No és en absolut obvi com fer-ho a primera vista.
Si no ens donen el centre, primer caldrà trobar-lo, ja sabem com fer-ho. Un cop el tenim, dibuixem un diàmetre qualsevol. Si aquest diàmetre coincideix amb el segment donat, estem de sort. Però en general el segment serà més petit, i aleshores transporten el segment sobre un extrem del diàmetre:
I ara ja és fàcil de veure el que resta: fer servir el compàs per trobar dues possibles solucions:
Si ens donen un triangle com aquest
i ens donen un cercle, al qual ens demanen que inscrivim (recorda, això vol dir posar els vèrtexs sobre la circumferència) el triangle donat (en una versió ampliada o reduïda, però conservant els mateixos angles donats), com ho podríem fer? Hi ha un mètode senzill i preciós que cal veure almenys un cop a la vida.
A un punt qualsevol de la circumferència (on vulguem un vèrtex), fem la tangent, i transportem un dels angles del triangle sobre la tangent, per exemple el groc. A l'altra banda del punt tangent transportem altre angle del triangle, per exemple el blau.
Per tant, el tercer angle del triangle (vermell) quedarà perfectament definit sobre el vèrtex i ja podrem dibuixar tot el triangle inscrit!
Fixa't com l'angle negre farcit coincideix amb el groc (i el negre buit amb el blau).
I si el mateix triangle ara el volem circumscriure (és a dir, amb els costats tangents al cercle)? Recorda que el triangle es pot re-escalar (fer zoom), però el cercle es manté igual. El procés de circumscriure és només una mica més complicat que l'anterior, però aquest tema s'allargaria massa!
Ara ens toca veure el procés invers: ens donen un triangle fix i el que podem re-escalar és el cercle.
Primer volem inscriure el cercle. Aquí val la pena mencionar que inscriure, en general, vol dir 'encaixar' per dins. No hi ha una definició massa rigorosa. En aquest cas vol dir posar el cercle per dins del triangle, de forma que el cercle sigui tangent als costats d'aquest.
El triangle en qüestió és aquest
El procés consisteix en fer les bisectrius de (almenys) dos angles del triangle. Si volem fer la tercera bisectriu, aquesta coincidirà amb la intersecció trobada amb les dues primeres. El punt trobat es diu incentre.
Un cop trobat, hi ha prou amb aixecar les perpendiculars als costats de forma que totes passin per l'incentre (de fet és suficient aixecant només una). Això ja ens donarà el radi del cercle que volem.
Circumscriure un cercle vol dir passar el cercle per fora de forma 'encaixada', en aquest cas volent dir que la circumferència passi pels vèrtexs del triangle.
En aquest cas hi ha prou amb trobar els punts mitjos de cada costat, i aixecar les seves perpendiculars, és a dir, les mediatrius, les quals es trobaran a un únic punt que es diu circumcentre. Un cop el tinguem, amb el compàs tracem el cercle amb el circumcentre com a centre i fins a un vèrtex qualsevol com a radi.
En aquest darrer dibuix, els dos angles negre i taronja són de 90º cadascú. Les línies blaves, contínua i discontínua, són d'igual longitud. I el mateix per les línies taronges continua i discontínua del costat superior.
El circumcentre pot arribar a caure fora del triangle si aquest és obtús!
Tot i que Euclides no els menciona, hi ha altres dos centres importants a un triangle. El primer és el baricentre o bé centroide, surt d'unir els vèrtexs amb els punts mitjos (M) dels costats oposats (aquests segments es diuen mitjanes).
El centroide (aquí el punt gros blau) té diverses propietats, sent aquesta una de les més notables: és un punt que divideix les tres mitjanes en dos parts, de forma que del vèrtex al centroide tenim 2/3 de tota la mitjana (part vermella) i fins al costat oposat tenim el 1/3 restant (part verda).
L'altre centre important és l'ortocentre, que surt de fer la intersecció de les tres altures, on aquestes són els segments que connecten cada vèrtex amb el costat oposat de forma perpendicular a aquest.
Com a curiositat, aquests tres darrers centres descrits (circumcentre, centroide i ortocentre) sempre es troben alineats, al llarg d'una línia que es diu línia d'Euler.
Altres construccions als Elements, molt importants però que no treballarem, són:
Euclides dedica els llibres V i VI a l'estudi de les proporcions, de forma algebraica/numèrica i de forma geomètrica, respectivament.
La proporció és una de les qualitats artístiques (i per tant arquitectòniques) per excel·lència. En ella, no importen tant les quantitats absolutes entre dues magnituds, sinó la seva relació mútua. A la proporció d'una façana, per exemple, no importa tant si l'alçada fa 15 metres o 45 peus: el que importa és el quocient entre l'alçada i l'amplada.
Aquests quocients entre números no tenen magnitud física (dividim metres entre metres o peus entre peus) i per tant assoleixen una magnitud metafísica (més enllà de la física).
Dins d'aquest apunts, començarem mencionant les proporcions numèriques com a quocients entre números, a les quals també podem dir ràtios. Per exemple, 3/2 és una proporció racional, mentre que √2/1 és una proporció irracional. És interessant veure que la etimologia de la paraula irracional ve literalment de no tenir una ràtio. Això ens indica la gran importància que històricament tenen les proporcions racionals, com a senyals de civilització i, ara ho veurem, d'harmonia.
Què vol dir que una proporció és harmònica? Intuïtivament, que té unes proporcions agradables. Però podem ser més precisos i dir que té una proporció racional, és a dir, expressada com a fracció de nombres naturals (no ens interessen aquí els nombres negatius).
Pitàgores va ser el descobridor d'un dels fets més transcendentals de tota la història: que l'harmonia musical entre dues notes correspon al quocient numèric entre la longitud de les cordes de l'instrument (i de forma més moderna, aquest quocient resulta ser l'invers del quocient entre les freqüències d'aquestes notes).
D'una banda teníem l'harmonia, on alguns sons es mesclaven de forma agradable (consonant) a l'oïda, mentre que altres es mostres dissonants. D'altra banda, tenim nombres racionals i nombres irracionals (l'escola Pitagòrica també va descobrir la irracionalitat de l'arrel quadrada de 2). La connexió entre la 'bellesa' matemàtica (racionalitat dels números) i la 'bellesa' musical (harmonia dels sons) té un abast com a mínim tan gran com el famós teorema que involucra catets i hipotenuses.
És més. Dins de les fraccions racionals, podem fer un ordre de més harmònic i consonant a més dissonant. Quina seria la fracció més perfecta? Clarament, la fracció 1/1 o 2/2 o n/n, és a dir, 1. Això, musicalment es diu un uníson, i tot i que és un cas trivial, representa la perfecció màxima. A un instrument, es genera tocant la mateixa nota dues o més vegades de forma simultània. De fet, a un piano, llevat de notes molt greus, cada martell impacta a la vegada contra dues o tres cordes afinades amb la mateixa nota, de forma que escoltem un uníson. Si fem servir una quadrícula per representar espacialment aquestes ràtios, podem pintar un sol quadre com a mostra d'un uníson, ja que el quadre blau representa una figura amb fracció 1/1.
Després del fitxer d'àudio posem un dibuix on surt una quadrícula i com, en blau, el so l'omple. Sempre que les proporcions siguin racionals, la quadrícula s'omplirà amb un nombre exacte de quadrats. Del contrari, la fracció seria irracional.
Això seria un interval melòdic, horitzontal, perquè primer va una nota i després una altra. Si volem harmonia, les hem de tocar a la vegada:
Un cop tenim l'octava, es tracta de definir una escala, és a dir, unes notes entre mig d'una nota i la seva octava. Això vol dir trobar fraccions perfectes més grans que 1 i més petites que 2. La més perfecta és clarament 3/2, que correspon a una quinta justa
La següent és la quarta justa, o 4/3
La següent és la 6a Major, o 5/3
La següent és la 3a Major, o 5/4
La següent és la 3a menor 6/5
I així segueix la progressió d'intervals en el que s'anomena "temperament just".
Val a dir que existeixen altres temperaments, com el Pitagòric (basat en quintes majors), o el temperament igual, que és en el que es basa quasi tota la música moderna, i el qual només conté l'octava com a interval perfecte. Això és degut a que altres propietats desitjables de la música, com ara la simetria de translació (de transposició), fan que s'hagi d'arribar a un compromís (en anglès, trade-off).
No obstant, una o més violinistes o un cor a capella, sempre que puguin, afinaran els intervals de forma justa, amb proporcions perfectament racionals.
S'ha de mencionar aquí l'interval més temut, i per tant un dels més importants: el tritó, el qual és la mitjana (geomètrica!) d'una nota i la seva octava, i per tant la proporció és √2, un nombre irracional.
Aquesta proporció, lluny de ser evitada, és la que introdueix tensió a l'harmonia, la qual fa ganes de ser resolta i per tant llença la música a través del temps. Sense tensions i les seves resolucions, l'harmonia seria avorrida i estàtica!
Hem après sobre harmonies en el temps, el domini de la música, i també les hem començat a relacionar amb harmonies espacials (quadrícules), el domini de l'arquitectura. Cal que explorem més el món de les proporcions.
Segurament a l'escola ja t'has familiaritzat amb les fraccions, com ara 1/2 o 3/4.
Definim una proporció P(a,b) sempre com una quantitat més gran dividida entre una petita, de forma que P(2,1) = P(1,2) = 2/1 però no 1/2. És una formalitat sense massa importància.
Hi ha propietats de les proporcions que no cal quasi ni mencionar-les, però per si de cas... Diem que dues ràtios tenen la mateixa proporció si es poden convertir d'una a l'altra multiplicant o dividint a dalt i a baix pel mateix número. Per exemple, 1/2 = 3/6, perquè podem agafar 1/2 i multiplicar numerador i denominador pel mateix número, en aquest cas 3.
El que no és tan trivial és què vol dir aquesta propietat espacialment parlant! Quan canviem l'escala de la proporció, tot i que la proporció es manté, l'estructura espacial s'expandeix o es contreu de forma que el que en anglès diríem l'aspect ratio, com a les pantalles, es mantrindria:
A la figura tenim tres rectangles, tots amb la mateixa proporció, però 2/1 en verd, 4/2 en vermell i 6/3 en blau. Veiem com la diagonal sempre ha de ser comuna.
Hem vist, doncs, com una cosa aparentment tan poc interessant com és un canvi d'escala té un sentit espacial d'allò més fructífer.
Podries trobar versions espacials de la següent propietat? Si a/b = c/d => a/c = b/d.
I què et sembla aquesta altra propietat? D'entrada penses que és certa o no?
Si a/b = c/d, també a/b = c/d = (a+c) / (b+d).
Podries demostrar-ho? Com ho faries?
El segon teorema de Tales, internacionalment conegut com Intercept theorem, ens diu que si tenim un angle definit per dos segments AB i AC, i tallem amb dues rectes paral·leles aquests dos segments (en punts D i E una recta i en D' i E' l'altra recta, de forma que DE és || a D'E'), aleshores els triangles ADE i AD'E' són semblants, amb totes les conseqüències que ara després explorarem.
Diem que dues figures són semblants (símbol ~) si aconseguim transformar una en l'altra per mitjà de canvis d'escala (tipus zoom), reflexions a un mirall, rotacions i translacions. Si no ens cal el canvi d'escala, diem a més que són congruents (símbol ≅).
Suposem dos triangles, el triangle 1 té costats a1, b1, c1 i angles A1, B1, C1, i el triangle 2 té costats a2, b2, c2 i angles A2, B2, C2, de forma que la mateixa lletra d'un costat i angle vol dir que són oposats:
Quins són els criteris per dir que dos triangles són semblants? Són 3:
1) AAA (o AA): els tres angles són iguals. Aleshores s'ha de complir, per exemple, que A1=A2, B1=B2, C1=C2, però també podria ser que A1=B2, B1=C2, C1=A2, etc.
2) SAS (Side-Angle-Side): Cal que un angle sigui igual, per exemple A1=A2, i també caldrà que els seus costats adjacents siguin proporcionals, o bé b1/b2=c1/c2 o bé b1/c2=c1/b2.
3) SSS (Side-Side-Side): Cal que els tres costats estiguin en la mateixa proporció. Per exemple, a1/a2=b1/b2=c1/c2, o bé a1/b2=a2/c2=a3/a2, etc.
Els 1r i 3r criteris són realment intuïtius. Sobretot el 3r, que és un simple zoom escalant les distàncies. Però en general hi ha una forma més espacial de comprendre la proporcionalitat entre dos triangles, sempre i quan acceptem redibuixar-los. Aquí presentem un resum amb colors (compte, magenta i verd han de ser paral·lels!), on un triangle té costats gruixuts i l'altre costats fins, i on vermell vol dir tot el costat vermell, no la resta (vermell-cian)!
És a dir, sempre els superposem de forma que tinguin un angle comú, i de forma que els dos costats equivalents (vermell i cian per un costat i blau i taronja per l'altra) superposin. Si els triangles són similars, la tercera parella (verd i magenta) han de ser com a mínim paral·lels (podrien també coincidir si els triangles són congruents).
Les tres condicions de l'esquerra sempre seran certes si (triangle 1) ~ (triangle 2), és a dir, si són semblants.
Recorda, a més, que pels costats, es compleix sempre que si la primera igualtat és certa, la segona també:
Aquestes dues equacions (una per la suma i altra per la resta) caldria entendre-les gràficament, d'altra forma podrien semblar màgia negra. Et proposem que intentis fer-ho.
Com a cas particular i especialment important, les restes poden produir la igualtat
cian / (vermell-cian) = taronja / (blau-taronja)
que acostuma a ser difícil de veure.
Recordes les sumes i restes gràfiques del començament? Ara ha arribat el moment d'aprendre a multiplicar i dividir gràficament! I de regal també aprendrem a fer la inversa d'un segment (donat a, trobarem 1/a).
1) Multiplicació a·b
Ens donen segments a (blau) i b (vermell) i volem dibuixar un nou segment amb llargada x = a·b. Per això també necessitarem un segment de longitud 1, que en el fons ens dona l'escala de les unitats que volem fer servir.
El que volem és x = a · b, i això ho podem reescriure en forma de proporció com a/1 = x/b. Per tant, fem el següent dibuix (amb un angle arbitrari), on els quatre segments (a,b,1,x) tenen el vèrtex de l'esquerra en comú (no s'aprecia bé el solapament):
El primer que hem fet ha sigut construir un triangle amb b i 1 (tancant amb línia discontínua). Ara toca estendre b per poder tancar un triangle similar amb a i x. Les dues línies negres discontínues han de ser paral·leles.
Hem obtingut x (taronja), que es el que volíem. Al dibuix, x surt del vèrtex esquerre també, o sigui que solapa amb b (com a solapa amb 1). Ho podríem haver dibuixat tot sense solapament i també funcionaria!
2) Divisió b/a:
Ara volem un segment x = b/a, on els ingredients són els mateixos (a,b,1). Com abans, transformem x = a/b en una proporció, en aquest cas b/x = a/1. Per tant, dibuixem (ara ho farem sense solapament de segments):
El que hem fet ha sigut unir els extrems d'a i b, i fer la paral·lela discontínua sobre el segment 1 fer trobar x. Aquest cas no té solapament entre segments.
3) Invers 1/a:
Si ens donen un segment a (blau) i un segment unitat (verd), podem construir el segment invers 1/a (en taronja). com el que volem és x = 1/a, ho manipulem com x/1=1/a. Per tant, el segment 1 surt dues vegades. En el fons és un cas particular del cas anterior on b=1. Aquí també són paral·lels els segments discontinus i cap segment solapa:
Aquí estudiarem el teorema de la bisectriu i un altre teorema que és el germà de l'anterior. Són dues autèntiques joies de la geometria clàssica. Veiem-les.
Partim d'un triangle qualsevol
sobre el qual volem estudiar la bisecció de l'angle α. Obtenim el següent dibuix:
on el que hem fet ha sigut crear la bisectriu (d) de l'angle C, la qual talla al costat c en el punt, i el talla en dos parts, c1 i c2, de forma que c1 + c2 = c.
Un cop això tenim els dos teoremes anunciats. El primer és el que anomenem teorema de la bisectriu, i ens diu que
a / c1 = b / c2
La demostració d'aquest teorema la treballaràs a un taller.
El segon teorema, molt menys conegut que el primer, ens permet calcular la longitud de la bisectriu, és a dir, d. En concret,
d² = a · b - c1 · c2
Sabries demostrar aquest darrer teorema? I per què hem dit que es tracta del teorema germà de l'altre?
El següent teorema, que no té cap nom en especial, és de la màxima importància. Tracta de com, a partir d'un triangle rectangle, si el dividim per qualsevol de les altures, obtenim dos triangles més petits. El que diu el teorema és que els dos triangles petits són també triangles rectangles, semblants entre ells i semblant al triangle original.
Si partim del triangle rectangle original
i el dividim per qualsevol de les seves altures, per exemple la corresponent a A,
El teorema ens diu que els triangles ABC, ADC i ABD són tots tres semblants.
Hi ha dos teoremes que deriven directament d'aquest que acabem de mostrar. Són els següents:
1) Teorema de l'altura:
Ens diu que l'altura (AD) al quadrat és AD² = BD·DC. Però això no és res més que, un cop sabem proporcions i el teorema explicat a dalt, AD/BD = DC/AD, és a dir, la proporció entre el catet petit i el gran de cada triangle rectangle. De fet, com tenim tres i no dos triangles semblants, ho podríem ampliar a AD/BD = DC/AD = AC/AB. Trigonomètricament ho pots relacionar amb la tangent d'un angle que surt més d'un cop al dibuix.
2) Teorema del catet:
Ens diu que AB² = BD·BC. Però això no és més que AB/BC = BD/AB. Trigonomètricament, és dir que com l'angle a B és comú per dos triangles, el cosinus també serà el mateix.
Un exercici interessant aquí és el següent: l'angle A és de 90º, i mentre que al primer dibuix surt un cop, al segon dibuix surt tres cops. Podries fer el mateix amb els angles B i C? És a dir, dibuixa les dues noves aparicions tant de B com de C al segon dibuix.
NOTA: Rigorosament, A, B i C són punts, no angles, però com un angles sempre surt d'un vèrtex, ja s'entén de quins angles parlem. Una altra opció és considerar que els angles a A, B i C són α, β i γ (alfa, beta i gamma), respectivament.
Al començament d'aquesta assignatura vam estudiar la bisecció d'un segment i d'un angle. Ens explica Euclides com tri-seccionar (en parts iguals, s'entén) tant un angle com un segment?
En primer lloc, hem de saber que és impossible tri-seccionar un angle amb el mètode tradicional de regle i compàs. Això es va demostrar al 1837, i fins aleshores va ser un dels problemes clàssics no resolts, junt amb la quadratura del cercle (de la qual parlarem en breu) i la duplicació del cub (sobre la qual farem un taller).
Òbviament, per alguns casos particulars sí que ho podem fer. Per exemple, si ens donen una pizza sencera, sí sabríem tri-seccionar-la en tres trossos de 120º cadascun. Però en general no podríem (amb regle i compàs).
D'altra banda, Euclides sí que mostra com tri-seccionar un segment en parts iguals. I de fet, el mètode serveix per tallar un segment qualsevol en un nombre arbitrari de parts iguals. És a dir, també sabem n-seccionar-lo. El mètode, que de fet també serviria per trobar el punt mig d'un segment (n=2) és el següent (ho expliquem per n=3).
El problema comença amb un segment donat (AB) que ens demanen que dividim en tres parts iguals:
Primer de tot triem un punt C arbitrari (vermell), que no pertanyi a la recta AB. Connectem A amb C (podríem també fer B amb C) i allarguem la recta.
Ara, amb el compàs, fem Comp(C,A) => D i després Comp(D,C) => E. Dit d'una altra manera, estenem 3 vegades la distància AC al llarg de la recta discontínua.
Finalment, unim G i B i després (i aquí està la clau), fem paral·leles a GB passant per E (obtenint E') i per C (obtenint C').
Amb això ja tenim el segment AB dividit en 3 parts iguals: AC' = CE' = E'B = AB/3.
Ja hem parlat abans de la mitjana geomètrica, però no sabem encara com obtenir-la gràficament. Aquí aprendrem a fer-ho.
Ens donen dos segments a (vermell) i b (verd), els quals sumem gràficament, és a dir, els posem alineats un després de l'altre:
El que volem és trobar un segment c (verd) que tingui longitud c=√(a·b). És a dir, aquí aprendrem també a fer arrels quadrades de forma gràfica! Per aconseguir-ho, senzillament cal desenvolupar un semicercle sobre AC i aixecar la perpendicular a AC passant per B, trobant així el punt D com a tall al semicercle:
I c (verd) ja és el resultat que volíem! Per què això és cert? A aquestes alçades ja hauries de ser capaç de veure-ho ràpidament.
A matemàtiques, quan parlem de quadratura ens referim al càlcul de l'àrea d'una figura donada. Molt abans que Newton, Leibniz (i de fet també Arquimedes) desenvolupessin les bases del càlcul infinitesimal, Euclides descriu un procés per calcular l'àrea de qualsevol 'figura rectilínia' (que vol dir qualsevol polígon, no importa com d'irregular sigui).
El nom 'quadratura' ve de que la tècnica consisteix en, donat una figura irregular, buscar un quadrat que tingui la mateixa àrea que la figura original.
En arquitectura i edificació, aquest procés és altament rellevant, ja que la gran majoria dels terrenys es poden descriure com a 'figures rectilínies', i és important saber calcular la seva àrea. Per descomptat, una foto aèria i un ordinador són suficients per aquest càlcul, però en aquestes assignatures de matemàtiques també aspirem a entendre el que fem, i a apreciar l'art de, amb eines molt senzilles i idees molt poderoses, saber obtenir resultats. En concret, aquesta tasca de determinar àrees de terrenys pertany al que es coneix com a geomàtica, que serà un tema important de l'assignatura Matemàtiques II.
Hi ha (almenys) dues formes clàssiques de fer quadratures. Una sense fer servir proporcions i un altra fent-les servir. Aquí explicarem la primera, que és la que Euclides presenta als seus llibres.
Hi ha dos passos importants. El primer és convertir la figura irregular donada (el nostre terreny) en un rectangle. El segon pas consisteix en trobar un quadrat que tingui la mateixa àrea que un rectangle donat.
1) De figura irregular a rectangle
Sigui una figura irregular com aquesta
la qual descomponem en diferents triangles. Sempre podrem fer aquesta descomposició si la figura és poligonal.
Ara toca agafar cada triangle per separat i convertir-lo en un rectangle.
Practiquem el procés amb aquest triangle:
Trobem el punt mig M entre A i B i l'unim amb el vèrtex oposat, formant el que es diu una mediana (aquí la mediana és MC):
Molt important veure que la mediana divideix a un triangle en dos meitats no necessàriament iguals en forma, però sí iguals en àrea! Tenen la mateixa longitud de base i la mateixa alçada. Diem que l'àrea d'AMC és igual que l'àrea d'MBC.
El següent pas es dibuixar el paral·lelogram d'aquest triangle, que ja sabem que tindrà una àrea doble:
Com l'àrea d'ABCD és el doble que la d'ABC, però volem un paral·lelogram amb àrea com l'ABC, simplement dividim el paral·lelogram en dues parts iguals,
És a dir, que l'àrea vermella d'AMED és igual a l'àrea rosa d'ABC. Només falta convertir-ho a un rectangle, simplement lliscant-lo (cisalla) per tal de no modificar la seva àrea:
Ara bé, el nostre terreny tenia altres triangles, no només aquest. Ara sabem convertir cada triangle per separat en un rectangle per separat. Però com el que volem és obtenir un rectangle final amb l'àrea total, ens convé que els rectangles individuals que obtenim de cada triangle tinguin un costat en comú per poder anar apilant-los en un únic rectangle total.
La clau està en que el rectangle obtingut sempre té un costat igual al del triangle original. Al nostre exemple, el rectangle té un costat AD que és idèntic al costat BC del triangle. Quan hem dividit el paral·lelogram ABCD en dos parts iguals, podríem haver fet una altra divisió, que ens hauria donat un rectangle amb un costat igual al costat AB del triangle.
D'aquesta forma veiem que, com al terreny original tots els triangles tenen un costat comú, podem aplicar aquest mètode de forma estratègica per tal de sempre poder encadenar els rectangles resultants de forma convenient.
En definitiva, Euclides agafa un terreny poligonal, el descompon en triangles i els converteix un a un en un rectangle (ell els converteix en un paral·lelogram, de fet, però nosaltres tenim prou amb que sigui un rectangle), i els va apilant per fer un rectangle (o paral·lelogram) final. A la imatge veiem el terreny inicial i després el paral·lelogram final que aconsegueix. L'angle vermell és l'angle que té com a objectiu, que per a nosaltres només cal que sigui de 90º i per tant obtindríem un rectangle.
De forma encara més resumida, el que fem és trobar el rectangle vermell que correspon al terreny groc:
2) De rectangle a quadrat.
Falta el pas final, que és convertir el rectangle vermell en un quadrat.
Suposem que el rectangle té base b i altura h, i per tant la seva àrea és A = b·h. Com volem un quadrat amb àrea A = L² on L és el seu costat, està clar que el que aquí busquem és L = √(b·h). Dit d'una altra manera, estem buscant L, que és la mitjana geomètrica de b i h. Cosa que ja hem après a fer abans!
Convé mencionar aquí que després d'aquest èxit tècnic de poder obtenir la quadratura de qualsevol figura poligonal, es va intentar buscar com fer la quadratura del cercle, és a dir, trobar un quadrat que tingui la mateixa àrea que el cercle, i trobar-lo només fent servir regle i compàs i amb un nombre finit de passos (si acceptem un nombre infinit, sempre podríem dividir el cercle i qualsevol altra figura en infinits i petitíssims triangles i aplicar el procés descrit). Aquest procés es va demostrar com a impossible al 1882. L'expressió "quadrar el cercle" ha quedat com dita popular per voler expressar una cosa impossible.
Euclides proposa un problema que està lluny de ser obvi. Ens donen dos triangles que tenen un mateix angle i la mateixa àrea. Són aquests triangles semblants? La resposta és que són recíprocament semblants, que no és el mateix que semblants. Però és un cas interessant que ens ajuda a manipular triangles. El dibuix és el següent, on les àrees vermella i blava són iguals. I l'angle comú dels dos triangles és obvi també.
Per ajudar-nos, dibuixem un tercer triangle (gris):
Sempre que tinguem dos triangles amb un costat comú podem pensar la seva proporció d'àrees de dues formes:
1) com a triangles amb base diferent però altura comú, i per tant la proporció d'àrees és igual a la proporció de bases (l'altura es cancel·la).
2)com a triangles amb altura diferent però base comú (el costat que tenen en comú), i per tant la proporció d'àrees és igual a la proporció d'altures (la base comú es cancel·la).
En aquest cas, les altures no les tenim dibuixades, així que millor triem l'opció 1).
Blau i gris comparteixen la mateixa altura (no dibuixada), i el mateix passa entre el gris i el vermell. Això es veu en el moment en que comparteixen el mateix vèrtex oposat a les seves bases.
Com hem dit, dos triangles amb la mateixa altura tenen una proporció entre àrees igual a la seva proporció entre bases. Per tant blau/gris = c/d. I vermell/gris = b/a. I per tant,
c/d = 1 / (a/b)
És a dir, que són recíprocament semblants, que és una semblança inversa de l'habitual. Aquest exercici ens ha servit per treballar amb triangles que tenen un costat comú.
Proposem aquí un passeig per diferents proporcions importants.
1) Entre dos triangles o figures bidimensionals semblants.
Si dos triangles són semblants, i la proporció entre dos dels seus costats equivalents (o homòlegs) és p (p seria com el "zoom factor" aplicat per convertir una figura en l'altra), aleshores la seva proporció entre àrees serà p².
El mateix passa per qualsevol parell de figures semblants en 2D. Comparem dos elements homòlegs qualsevol entre les dues figures, i si la seva proporció és p, la proporció entre les àrees serà p².
2) Entre dues figures tridimensionals.
De forma anàloga a 1), si comparem dues longituds de dos elements homòlegs entre dues figures tridimensionals semblants i el seu ràtio és p, el ràtio entre els seus volums serà p³.
3) En un mateix cercle, la proporció entre dos arcs (longitud d'arc) és la mateixa proporció que entre els seus angles corresponents (tant en graus com en radians), i també la mateixa proporció que entre l'àrea dels sectors corresponents. Dit d'una altra forma, per un mateix cercle,
arc1 / arc2 = angle1 / angle2 = sector1 / sector2
Durant aquest repàs hem aprés a fer, amb regle i compàs, les següents operacions:
Diem que un nombre és construïble quan es pot dur a terme amb regle i compàs. Quins nombres són construïbles i quins no? Molt senzill: ho són aquells que són el resultat de la combinació de les operacions anteriors. És important remarcar que ens referim a operacions amb un nombre finit de passos.
Per exemple, 1+√2 és construïble perquè a partir d'una unitat (1) es pot arribar a ell com a combinació de suma (per obtenir el 2), arrel quadrada i un altra cop suma. En canvi, el nombre π no és construïble perquè no permet ser construït com a combinació dels processos anteriors (si fos permès fer servir un nombre infinit de passos sí que seria construïble!).
Seria construïble l'arrel cúbica de 2? Aquesta pregunta es van fer a la Grècia antiga quan un oracle va determinar que calia duplicar el volum d'un altar amb forma cúbica. Però, com es duplica el volum d'un cub?
Com ja sabem, els dos cubs (l'inicial amb costat L1 i el final amb costat L2), serien objectes semblants, i això vol dir que la seva proporció en volums serà V2/V1 = (L2/ L1)³. I com volem que V2/V1 = 2, aleshores L2/L1 = ∛2. És a dir, que per duplicar el volum d'un cub cal construir un cub amb costats L2 que siguin ∛2 vegades més gran que el costat original L1.
Malauradament, com el nombre ∛2 no es pot obtenir amb una sèrie (finita) de sumes, restes, multiplicacions, divisions i arrels quadrades, no és construïble amb regle i compàs. Aquest problema, conegut com la duplicació del cub, és un dels problemes clàssics que mai es van poder resoldre, tot i que les demostracions de que són impossibles són relativament modernes.
Ara bé, no penseu que això vol dir que ∛2 no es pot construir amb altres procediments! Només un prejudici estètic, com el que Plató i altres figures del món clàssic tenien envers aquest tema, ja que consideraven que el regle i compàs era la forma pura de construcció, ens portaria a dir que ∛2 és impossible de construir. Amb altres aparells o amb regle i compàs modificats sí que es pot construir. A més, aquest problema va ser el que va originar el descobriment de les corbes còniques, les quals explorarem a finals del semestre.
Com ja vam anticipar, el teorema de Pitàgores té dues expansions. Una ja l'hem vist: el teorema del cosinus. L'altra, molt menys popular, però una autèntica joia, la veurem aquí.
Com sabem, el teorema de Pitàgores ens diu, seguint aquest dibuix, que les àrees groga i blava sumen igual que l'àrea vermella, on les àrees són de quadrats que es despleguen de cada costat del triangle rectangle interior.
El que Euclides ens diu és que no cal que siguin quadrats! Sempre que les figures groga, blava i vermella siguin semblants, la igualtat
groga + blava = vermella
serà correcta. Per exemple, sempre i quan els rectangles groc, blau i vermell siguin semblants, també serà cert aquí:
Sabries entendre per què això és cert?
I de fet, podem desplegar la nostra fantasia tant com vulguem, amb qualsevol figura que dibuixem desplegada dels costats del triangle, com ara aquesta:
